实际上这可以分为两方面来看待。
一方面，从法律上来说，婆婆没义务供养自己的孙子。
子女的供养指的是父母而言，子女的抚养由父母来完成，父母在法律上来说是有义务供养子女到18周岁成年为止的。而婆婆作为你儿子的奶奶在法律上来说是没责任和没有抚养的义务。
另一方面，在亲情上来说，中国婆婆会有意愿供养孙子。
从中国的传统来看，婆婆都偏袒于自己的儿孙，也很喜欢自己的儿孙。很多婆婆假如自己生活清闲的话都很乐意帮自己的子女抚养自己的孙子们。但所有的事情都归结为自愿，而婆婆不能说该供养孙子。
如果真问该不该供养，只能说不该供养孙子，毕竟子女都是由父母供养而不该由外婆或者和奶奶来供养。